Projeto de filtros ativos – Conceitos básicos


Os filtros são muito utilizados no projeto de circuitos eletrônicos, e saber como funcionam e como projetá-los é de muita importância para o desenvolvedor de equipamentos eletrônicos. Independente de quão complexo é o circuito final, o conceito básico é sempre o mesmo: Utilizar componentes cuja impedância varia com a frequência, em configurações que dependem do tipo de filtro desejado.  Nas figuras a seguir os gráficos de resposta em frequência foram obtidos utilizando-se o Qucs-S , operando no SO Linux Mint 18. As fórmulas e procedimentos de projeto de filtros, especialmente os de segunda e terceira ordem,  explanados nesta série de artigos,  foram extraídos do livro “Handbook of Operational Amplifier Circuit Design”, de David F. Stout, [1976].

A base de tudo

Temos dois grupos de componentes cuja reatância varia com a frequência. Os capacitores e os indutores.

A reatância capacitiva varia inversamente com a frequência, segundo a seguinte fórmula:

X_c = 1/(2 pi f C)

A reatância indutiva varia diretamente com a frequência, segundo a seguinte fórmula:

X_l = 2 pi f L

Tipos de filtro

Observe a figura a seguir:

Tipos de filtros

  • O filtro passa baixo só permite a passagem de frequências abaixo da frequência de corte, marcada como f1 na figura.
  • O filtro passa alto só permite a passagem de frequências acima de sua frequência de corte, marcada como f2 na figura.
  • O filtro passa banda só permite a passagem de sinais de frequências entre f1 e f2.
  • O filtro rejeita banda não permite a passagem de sinais de frequência entre f1 e f2.

As curvas mostradas na figura, totalmente verticais, não são possíveis de serem obtidas na prática. O que fazemos é aproximá-las o suficiente para atender ao nosso objetivo. Quanto maior a inclinação, maior a sofisticação do filtro e maior é a dificuldade de implementação prática.

Um filtro passa baixo simples

Um resistor e um capacitor, montados na configuração da figura a seguir, formam um filtro passa baixo. Por que? Porque as frequências mais altas são progressivamente atenuadas, conforme podemos ver no gráfico.

Filtro passa baixo primeira ordem

Observe que a tensão de saída é proporcional ao valor da reatância capacitiva, sendo dada pela fórmula:

V_s = V_e  *  X_c / (R + X_c)

Ou seja, quanto menor Xc, menor a tensão de saída. Já vimos que Xc é tanto menor quanto maior for a frequência. Portanto, quanto maior a frequência, menos passará do sinal. Temos um circuito que passa as frequências baixas com muito mais facilidade, muito propriamente denominado de filtro passa baixas!

O comportamento pode ser analisado pelo gráfico na parte inferior do circuito. Veja que quanto maior a frequência, menor é a amplitude do sinal na saída.

Um ponto importante no gráfico é a frequência de corte. A frequência de corte de um filtro passa baixo é aquela em que o sinal de saída é reduzido 0.707 vezes a tensão de entrada. Observando o gráfico vemos que isto ocorre na frequência aproximada de 1500 Hz. O que confere com a teoria, pois a equação que nos dá a frequência de corte de um filtro RC de primeira ordem (o esquema anterior) é dada por:

fc= 1 / ( 2 pi R C)

fc= 1 / ( 2 pi 10^4  10^-8)= 1591 Hz

Observe novamente a curva do filtro. Embora as frequências mais altas sejam realmente atenuadas, a atenuação está longe da atenuação de um filtro ideal. A inclinação de um filtro passa baixo de primeira ordem é de -6dB por oitava, ou -20 dB por década.

Podemos melhorar a inclinação , ou seja, torná-la mais íngreme, aumentando a ordem do filtro. Um filtro de segundo ordem possui uma inclinação de -12 dB/oitava. A ordem de um filtro é dependente do número de elementos reativos que ele possui. Quanto maior a ordem do filtro, mais próximo da curva do ideal somos capazes de chegar. Mas, sempre tem um mas, o circuito fica mais complexo e mais sensível à variação dos valores dos componentes. Cada vez que aumentamos a ordem do filtro, a curva fica mais inclinada em -20 dB por década.

Mas voltando ao circuito passa baixo passivo, se tudo o que precisamos é de uma curva de primeira ordem, qual o motivo de usarmos um amplificador operacional em um circuito de filtro ativo de primeira ordem? Se a curva de resposta é o mesma, qual o motivo de utilizarmos componentes ativos? A resposta é simples. Quando ligamos uma carga na saída de um filtro passivo, a resposta se altera. Analise o caso para cargas de 10K e 1 K, apresentadas nas figuras a seguir:

Filtro passa baixo carga 10K

 

Filtro passa baixo carga 1K

Como podemos ver, a resposta é totalmente influenciada pela carga. Precisamos de um circuito que não sofra tanto a influencia da impedância da carga que o filtro alimenta. É aí que entra o amplificador operacional. Com a sua impedância de entrada aproximando-se de infinito e impedância de saída aproximando-se de 0, e ganho tendendo ao infinito, é um elemento ideal para a implementação de filtros ativos.

Parâmetros que definem um filtro:

Os parâmetros que definem um filtro são apresentados na figura a seguir. É importante salientar que alguns modelos não exigem todos estes parâmetros. Por exemplo, os filtros do tipo Butterworth e Bessel filters são exemplos de filtros que não possuem ripple na banda de passagem.

Parâmetros que definem um filtro

As abreviações utilizadas na figura tem o seguinte significado:

  • K: Ganho do filtro em dB
  • Rp: Variação (“ripple”) do ganho na banda de passagem
  • Fc: Frequência de corte
  • Ap: Atenuação na frequência de corte (3 dB)
  • Fs: Frequência do inicio da banda de corte
  • As: Atenuação na banda de corte

A ordem do filtro será determinada por estes parâmetros, como veremos adiante.

O filtro passa tudo (“all pass”)

Existe um tipo de filtro sobre o qual não falamos nada ainda. Este filtro não filtra nada em termos de amplitude (ou seja, todas as frequências passam por ele). Mas, cada frequência sofre um deslocamento de fase diferente. Ou seja, o sinal não muda de amplitude, porem muda de fase, sendo esta mudança uma função da frequência do sinal. Este tipo de filtro é muito utilizado em telecomunicações e em projeto de osciladores.

As principais curvas dos filtros ativos

Como já vimos anteriormente, o filtro ideal não existe. Mas, ao longo do tempo, várias funções de transferência foram sendo estabelecidas. Cada função reforça uma ou outra característica em detrimento de outras. As funções de transferência mais utilizadas no projeto de filtros ativos são chamadas de Bessel, Butterworth, e Chebyshev. Estes nomes são originados dos criadores dos polinômios que geram os coeficientes destes filtros. As características básicas destas funções de transferência são:

  • Butterworth: São filtros que oferecem a região de banda de passagem mais plana o possível. A atenuação na frequência de corte é de definida como o ponto de -3dB de ganho. Depois disto atenua em 20 dB/década/ordem. Sua resposta ao transiente tem uma oscilação moderada.
  • Bessel: São filtros otimizados para terem uma resposta linear de fase e uma excelente resposta ao transiente. Para obter esta reposta linear de fase, permite uma maior oscilação na banda de passagem, e diminui a inclinação da curva de resposta na parte de transição. A frequência de corte é definida como o ponto de -3 dB de ganho.
  • Chebyshev: São os filtros cuja inclinação é a maior de todas (esta é a parte boa!). Mas o sinal na parte de passagem possui uma oscilação grande comparada com a Butterworth e a Bessel. A resposta ao transiente tem mais oscilações do que o filtro Butterworth. A frequência de corte é definida como aquela em que o sinal cai abaixo da oscilação na banda de passagem.

As principais configurações de circuitos

Dizer que um filtro é Butterworth, Bessel ou Chebyshev define a curva de resposta que queremos do filtro. Mas não diz nada sobre o circuito que implementa a função de transferência. Podemos realizar esta implementação baseadas em diferentes topologias de circuito. Duas se destacam, a topologia Sallen-Key e a Multiple Feedback (MFB).

Um exemplo da topologia Sallen-Key para um filtro passa baixo de segunda ordem é apresentado na figura a seguir:

Filtro PB topologia Sallen-Key

E um exemplo utilizando a topologia MFB

Filtro PB topologia MFB

Cada uma destas topologias podem ter os valores dos componentes ajustados para implementar curvas Butterworth, Bessel ou Chebyshev. Quando desejamos aumentar a ordem de um filtro para valores maiores de dois, cascateamos filtros em série. Assim, um filtro de ordem três será implementado com um circuito de ordem 1 em série com um circuito de ordem dois.

A topologia Sallen-Key permite o cálculo dos componentes de forma simplificada, sua resposta é menos sensível às variações dos valores de componentes quando o ganho é unitário, porém a resposta em frequência é mais dependente do amplificador operacional utilizado. Já a topologia MFB tem uma resposta em alta frequência superior,e o cálculo dos componentes não permite muitas simplificações, mas a robustez à variação dos valores dos componentes é superior à possível de ser obtida com a topologia Salley-Key.

No próximo artigo vamos utilizar estes conhecimentos para o projeto de um filtro passa baixo ativo. Até lá!. Se algum aspecto ficou difícil para você entender use o campo de comentários!

 

 

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