Projetos de filtros ativos: Passa baixo de segunda ordem


Projeto de filtro passa baixo de segunda ordem não inversor

Uma das topologias mais simples para a implementação de filtros passa baixo de segunda ordem é mostrado no circuito a seguir:


Filtro PB segunda ordem

Nosso problema agora se torna o cálculo dos valores de R1, R2, C1 e C2. Com o cálculo correto destes valores podemos obter diferentes curvas de resposta. Vamos aprender como calcular para obtermos resposta Butterworth, Bessel e Chebyshev. A escolha entre estas três funções de transferência vai depender do uso. Chebyshev tem uma atenuação maior, mas apresenta um pico da reposta em torno de fc. Na prática, o ideal é calcular os três é verificar com os valores de componentes reais disponíveis, qual curva se aproxima mais do que desejamos.

O assunto filtros ativos de segunda ordem já é estudado exaustivamente na literatura, e bons livros estão disponíveis descrevendo a modelagem matemática em detalhes. No nosso caso vamos mais direto ao assunto, utilizando tabelas e fórmulas já consagradas pelo uso.

A tabela mais importante é a tabela que mostra valores de capacitores para uma frequência padrão.

Valores de C1 e C2 para frequência normalizada 1 rd/s

Tipo de filtro fator amortecimento Ca1 Ca2
Bessel 0.8659 0.9066 0.6799
Butterworth 0.707072 1.414 0.7071
Chebyshev (0.1 dB pico) 0.6516 1.638 0.6955
Chebyshev (0.25 dB pico) 0.6179 1.778 0.6789
Chebyshev (0.5 dB pico) 0.5789 1.949 0.6533
Chebyshev (1 dB pico) 0.5228 2.218 0.6061
Chebyshev (2 dB pico) 0.4431 2.672 0.5246
Chebyshev (3 db pico) 0.3833 3.103 0.4558

A resposta em frequência do amplificador operacional pode afetar a resposta do filtro. Para que isto não ocorra você deve se assegurar que o ganho do operacional seja muito maior do que a seguinte relação:

K = C_1 / (2 C_2)

Esta relação deve ocorrer em fc e frequências abaixo de fc.

Para o cálculo dos valores dos componentes siga a seguinte sequencia:

  • 1- Defina a frequência de corte, fc, em Hz
  • 2- Calcule Cb1 Cb2: (Ca1 e Ca2são obtidos na tabela anterior)

Cb_1= Ca_1 / ( 2 pi f_c)

Cb_2= Ca_2 / ( 2 pi f_c)

  • 3- Calcule C1 e C2:

Escolha valores para R=R1 = R2 que venham a produzir valores práticos para C1 e C2

C_1= Cb_1 / R

C_2= Cb_2 / R

Projeto de filtros PB Chebyshev, Bessel e Butterworth (segunda ordem)

 Caso 1: Butterworth com fc = 5Khz

Cb_1 = 1.414 / ( 2 pi 5000) = 0.000045009

Cb_2 = 0.707 / ( 2 pi 5000) = 0.000022505

Vamos definir que C1 terá o valor de 10 nF

R= 0.000045009 / 10^-8 = 4500 ohms

O valor de C2será então:

C_2= 0.000022505 / 4500 = 5 nF

Estes valores são os ideais. Em termos de valores disponíveis no comércio ficamos com:

R1 = R2= 4300 ohms
C1 = 10 nF
C2 = 4700 pF

Avaliando a resposta no simulador Qucs-S, com o operacional LM324, obtemos o seguinte:

Filtro PB Butterworth segunda ordem, fc=5Khz

Comparando com as curvas do filtro de primeira ordem, podemos ver como a curva de segunda ordem possui uma inclinação  mais acentuada.

 Caso 2: Chebyshev com 3dB de pico, fc = 5 Khz

O procedimento é o mesmo do caso Butterworth, apenas alterando os valores obtidos na tabela para Ca1 e Ca2.

Cb_1 = 3.103 / (2 pi 5000) = 0.000098772

Cb_2 = 0.4558 / (2 pi 5000) = 0.000098772

Vamos definir que C1 terá o valor de 10 nF

R = 0.000098772 / 10^-8 = 9800 ohms

O valor de C2será então:

C_2 = 0.000022505 / 9800 = 2.3 nF

Estes valores são os ideais. Em termos de valores disponíveis no comércio ficamos com:

R1 = R2= 10000 ohms
C1 = 10 nF
C2 = 2200 pF

Avaliando a resposta no simulador Qucs-S, com o operacional LM324, obtemos o seguinte:

Filtro PB Chebyshev segunda ordem, fc=5Khz

Observe que a atenuação é mais acentuada no caso Chebyshev que no Butherworth. Mas existe um ripple considerável no final da banda de passagem. Qual filtro é o melhor? Depende da sua aplicação, o correto é saber calcular os dois e avaliar bem qual será aplicado.

 Caso 3: Bessel com  fc = 5 Khz

Mesmo procedimento dos casos anteriores. Valores Ca1 e Ca2 obtidos na tabela.

Cb_1 = 0.9066 / (2 pi 5000) = 0.000028858

Cb_2 =  0.6799 / (2 pi 5000) = 0.000021642

Vamos definir que C1 terá o valor de 10 nF

R = 0.000028858 / 10^-8 = 2885 ohms

O valor de C2será então:

C_2 = 0.000021642 / 2885 = 7.5 nF

Estes valores são os ideais. Em termos de valores disponíveis no comércio ficamos com:

R1 = R2= 3000 ohms
C1 = 10 nF
C2 = 7500 pF

Avaliando a resposta no simulador Qucs-S, com o operacional LM324, obtemos o seguinte:

Filtro PB Bessel segunda ordem, fc=5Khz

Atenua mais do que o Butterworth, e oscila menos do que o Chebyshev.

Filtros com alimentação única

Até agora trabalhamos com filtros que se utilizam de alimentação simétrica. Para os casos onde só dispomos de alimentação única, precisamos polarizar o operacional de forma similar a que foi apresentada no caso de filtros de primeira ordem. Uma solução é mostrada a seguir:

Filtro PB Bessel segunda ordem, alimentação única, fc=5Khz

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