Projeto de filtros ativos: Passa alto


Os projetos dos circuitos de filtros passa altos são muito similares ao projeto de filtros passa baixos que mostramos anteriormente. São válidas todas as observações sobre componentes realizadas. Basicamente trocamos a posição dos capacitores e resistores envolvidos na determinação da resposta em frequência. A seguir vamos analisar um conjunto de topologias que atendem a maioria das necessidades da utilização no dia a dia do experimentador.

Projeto de filtro alto de primeira ordem (não inversor)

No projeto de um filtro passa alto de primeira ordem podemos configurar dois aspectos. A frequência de corte fc e o ganho G. Adicionalmente, podemos ter filtros sendo alimentados por fontes simétricas ou por fonte única. No caso de uso da fonte simétrica o circuito é o seguinte:

Filtro PA ordem 1 não inversor

As fórmulas utilizadas para o cálculo dos componentes são:

R_1= 1 / (2 * pi * f_c * C_1)

R_2= R_3*(G -1)

Ex: Cálculo dos valores para fc= 5Khz , G= 2, R3= 10000 ohms

  • 1- Fazemos C = 10 nF
  • 2- Calculamos R1 = 3183 ohms . Valor adotado: 3000 ohms
  • 3- Calculamos R2 = 10.000

Simulando com estes valores no Qucs-S temos mostrado no gráfico acima. O mesmo script python visto anteriormente para o cálculo de valores de componentes de filtros passa baixo pode ser utilizado para o cálculo dos valores do passa alto.

Caso desejarmos alimentar o operacional com uma fonte única, ao invés da fonte simétrica, temos que fornecer a polarização correta do operacional. Uma forma de se fazer isto é a seguinte:

Filtro PA não inversor fonte única

Podemos observar, comparando os circuitos do filtro passa alta de primeira ordem com fonte simples ou fonte simétrica, que no caso fonte simples os circuitos de polarização possuem mais componentes no caso fonte simples, porque?

Vamos partir do inicio. Para polarizar o amplificador operacional corretamente, temos que posicionar o nível DC de sua entrada “+” com metade da tensão de alimentação. Isto é conseguido facilmente através do divisor resistivo formado pelos resistores R2 e R3.

Observe que foram acrescentados no circuito os capacitores C3 e C2, em paralelo com os resistores do divisor. A função destes capacitores é oferecer uma baixa reatância à passagem de corrente alternada. Assim, do ponto de vista de corrente contínua, o ponto central do divisor esta no nível de 4.5 volts. Mas do ponto de vista alternado, é praticamente um curto para terra e para Vcc. Os capacitores de 1 uF correspondem a uma impedância baixa nas frequências de interesse. Do ponto de vista CA o lado inferior de R1 está ligado à terra.

Um experimento interessante pode ser feito tirando estes capacitores e verificando o efeito na curva de saída. Você é capaz de explicar fisicamente o que está ocorrendo?

Circuito sem capacitor de desacoplamento

Os cálculos de R1 e C1, que são os elementos que definem a frequência de corte, continuam exatamente os mesmos.

Projeto de filtro passa alto de primeira ordem (inversor)

Vamos analisar em primeiro lugar a situação do inversor alimentado com fontes simétricas, conforme mostrado na figura a seguir:

Filtro PA primeira ordem inversor fonte simétrica

As equações que nos permitem calcular os valores dos componentes, dados a frequência de corte e o ganho, são:

R_2= 1 / (2 * pi * f_c * C_1)

R_1= - (R_2 / G)

Realizando estes cálculos para uma frequência de corte de 5Khz e ganho de 0dB (1 x), temos os seguintes valores:

C1= 10 nF
R1= 3K
R2= 3K

Simulando com estes valores chegamos ao resultado apresentado na figura anterior.

Com as mesmas considerações do filtro não inversor em relação a alimentação por fonte única, ficamos com a seguinte topologia para a alimentação uma única fonte:

Filtro PA 5Khz fonte única

Como resposta é exatamente mesma, a escolha pela configuração não inversora ou inversora vai ser função do tipo de aplicação. Quando estamos inserindo um filtro numa série de amplificadores, é interessante que a função de transferência global seja inversora, pois isto irá diminuir os riscos de realimentação positiva e o seu amplificador pode se transformar num belo oscilador. Este risco é tanto maior quanto maior for o ganho global.

Projeto de filtro passa alto de segunda ordem não inversor

Uma das topologias mais simples para a implementação de filtros passa alto de segunda ordem é mostrado no circuito a seguir:

Filtro PA segunda ordem

Nosso problema agora se torna o cálculo dos valores de R1, R2, C11 e C2. Com o cálculo correto destes valores podemos obter diferentes curvas de resposta. Vamos aprender como calcular para obtermos resposta Butterworth, Bessel e Chebyshev. A escolha entre estas três funções de transferência vai depender do uso. Chebyshev tem uma atenuação maior, mas apresenta um pico da reposta em torno de fc. Na prática, o ideal é calcular os três é verificar com os valores de componentes reais disponíveis, qual curva se aproxima mais do que desejamos. Para este cálculo vamos utilizar a mesma metodologia utilizada para o projeto de filtros passa baixo.

A tabela a seguir mostra valores de resistores para uma frequência padrão.

.Valores de Ra1 e Ra2 para frequência normalizada 1 rd/s

Tipo de filtro fator amortecimento Ra1 Ra2
Bessel 0.8659 1.103 1.471
Butterworth 0.7072 0.7072 1.414
Chebyshev (0.1 dB pico) 0.6516 0.6105 1.438
Chebyshev (0.25 dB pico) 0.6179 0.5624 1.473
Chebyshev (0.5 dB pico) 0.5789 0.5131 1.531
Chebyshev (1 dB pico) 0.5228 0.4509 1.650
Chebyshev (2 dB pico) 0.4431 0.3743 1.906
Chebyshev (3 db pico) 0.3833 0.3223 2.194

A resposta em frequência do amplificador operacional pode afetar a resposta do filtro. Para que isto não ocorra você deve se assegurar que a o ganho do operacional seja sempre maior do que 100 em todas as frequências de interesse.

Para o cálculo dos valores dos componentes siga a seguinte sequencia:

  • 1- Defina a frequência de corte, fc, em Hz
  • 2- Selecione Ra1e Ra2 na tabela anterior, em função do tipo de filtro
  • 3- Calcule a constante C, dada por:

C= 1 / ( 2 pi f_c)

  • 4- Escolha a constante K para resultar em valores adequados (comerciais) para C1 e C2

C_1 = C_2 = C / K

  • 5- Calcule os valores dos resistores através das seguintes fórmulas:

R_1= K  *  Ra_1

R_2= K  *  Ra_2

Exemplos de projeto de filtros PA Chebyshev, Bessel e Butterworth (segunda ordem)

 Caso 1: Butterworth com fc = 5Khz

Ra1 = 0.7072
Ra2 = 1.414

C=1 / ( 2 pi 5000)  = 0.000031831

Estipulamos C1 = C2= 10 nF

K = C / C_1 = 3183,098861838

R_1 = K * Ra_1 = 3183 * 0.7072 = 2251

R_2 = K * Ra_2 = 3183 * 1.414 = 4500

Estes valores são os ideais. Em termos de valores disponíveis no comércio ficamos com:

R1 = 2200 ohm

R2= 4500 ohms

C1 = 10 nF

C2 = 10 nF

Avaliando a resposta no simulador Qucs-S, com o operacional LM324, obtemos o seguinte:

Filtro PA Butterworth segunda ordem, fc=5Khz

Comparando com as curvas do filtro de primeira ordem, podemos ver como a curva de segunda ordem possui uma inclinação mais acentuada.

 Caso 2: Chebyshev com 3dB de pico, fc = 5 Khz

O procedimento é o mesmo do caso Butterworth, apenas alterando os valores obtidos na tabela para Ra1 e Ra2.

Ra1 = 0.3223
Ra2 = 2.194

C= 1 / ( 2 pi 5000) = 0.000031831

Estipulamos C1 = C2 = 10 nF

K = C / C_1 = 3183,098861838

R_1 = K * Ra_1 = 3183 * 0.3223 = 1025

R_2 = K * Ra_2 = 3183 * 2.194 = 6983

Estes valores são os ideais. Em termos de valores disponíveis no comércio ficamos com:

R1 = 1000 ohm

R2= 6800 ohms

C1 = 10 nF

C2 = 10 nF

Avaliando a resposta no simulador Qucs-S, com o operacional LM324, obtemos o seguinte:

Filtro PA Chebyshev segunda ordem, fc=5Khz

Observe que a atenuação é mais acentuada no caso Chebyshev que no Butherworth. Mas existe um ripple considerável no final da banda de passagem. Qual filtro é o melhor? Depende da sua aplicação, o correto é saber calcular os dois e avaliar bem qual será aplicado.

 Caso 3: Bessel com  fc = 5 Khz

Mesmo procedimento dos casos anteriores. Valores Ra1 e Ra2 obtidos na tabela.

Ra1 = 1.103
Ra2 = 1.471

C= 1 / ( 2 pi 5000) = 0.000031831

Estipulamos C1 = C2= 10 nF

K = C / C_1 = 3183,098861838

R_1 = K * Ra_1 = 3183 * 1.103 = 3510

R_2 = K * Ra_2 = 3183 * 1.471 = 4682

Estes valores são os ideais. Em termos de valores disponíveis no comércio ficamos com:

R1 = 3600 ohm

R2= 4700 ohms

C1 = 10 nF

C2 = 10 nF

Avaliando a resposta no simulador Qucs-S, com o operacional LM324, obtemos o seguinte:

Filtro PA Bessel segunda ordem, fc=5Khz

Atenua mais do que o Butterworth, e oscila menos do que o Chebyshev.

Filtros com alimentação única

Até agora trabalhamos com filtros passa alto que se utilizam de alimentação simétrica. Para os casos onde só dispomos de alimentação única, precisamos polarizar o operacional de forma similar a que foi apresentada no caso de filtros de primeira ordem. Uma solução é mostrada a seguir:

Filtro PA Bessel segunda ordem, alimentação única, fc=5Khz

 

Projeto de filtro passa alto de terceira ordem (Butterworht, Bessel, Chebyshev)

Assim como no caso de filtros passa baixo, filtros passa alto de ordem superior a dois podem ser implementados dispondo filtros de ordens menores em série. O circuito de um filtro passa alto de terceira ordem pode ser implementado como mostrado na figura a seguir:

Filtro PA terceira ordem

Para o cálculo dos componentes, podemos utilizar uma metodologia muito similar à que empregamos no projeto do filtro passa alto de ordem 2. Baseamos o nosso projeto em uma tabela do valores não escalados para os capacitores:

.Valores dos resistores (escalonados) para filtro passa alta de terceira ordem

Tipo de filtro Ra1 Ra2 Ra3
Bessel 0.7027 1.012 3.940
Butterworth 0.2820 0.7184 4.941
Chebyshev (0.1 dB pico) 0.1503 0.5479 7.435
Chebyshev (0.25 dB pico) 0.1169 0.4955 9.017
Chebyshev (0.5 dB pico) 0.08905 0.4444 11.17
Chebyshev (1 dB pico) 0.06180 0.3896 15.56
Chebyshev (2 dB pico) 0.03595 0.3212 25.69
Chebyshev (3 dB pico) 0.02303 0.2756 39.48

A sequencia de cálculo dos componentes é a seguinte:

  • 1- Defina a frequência de corte, fc, em Hz
  • 2- Selecione Ra1, Ra2 e Ra3 na tabela anterior, em função do tipo de filtro
  • 3- Calcule a constante C, dada por:

C= 1 / ( 2 pi f_c)

  • 4- Escolha a constante K para resultar em valores adequados (comerciais) para C1, C2 e C3

C_1 = C_2 = C_3 = C / K

  • 5- Calcule os valores dos resistores através das seguintes fórmulas:

R_1 = K * Ra_1

R_2 = K * Ra_2

R_3 = K * Ra_3

Exemplos de projeto de filtros PB Chebyshev, Bessel e Butterworth (terceira ordem)

 Caso 1: Butterworth com fc = 5Khz

Ra1 = 0.2820
Ra2 = 0.7184
Ra3 = 4.941

C= 1 / ( 2 pi 5000) = 0.000031831

Estipulamos C1 = C2 = C3 = 10 nF

K = C / C_1 = 3183,098861838

R_1 = K * Ra_1 = 3183 * 0.2820 = 897

R_2 = K * Ra_2 = 3183 * 0.7184 = 2286

R_3 = K * Ra_3 = 3183 * 4.941 = 15727

Estes valores são os ideais. Em termos de valores disponíveis no comércio ficamos com:

R1 = 910 ohm
R2 = 2200 ohms
R3 = 15000 ohms
C1 = 10 nF
C2 = 10 nF
C3 = 10 nF


O resultado da simulação pode ser avaliado na figura a seguir:

Filtro PA terceira ordem,Butterworth, fc=5Khz

 Caso 2: Chebyshev 2 dB de pico,  com frequência de corte 500 hz

Da tabela obtemos:

Ra1= 0.03595
Ra2= 0.3212
Ra3= 25.69

C= 1 / ( 2 pi 500) = 0.00031831

Estipulamos C1 = C2 = C3 = 100 nF

K = C / C_1 = 3183

R_1 = K * Ra_1 = 3183 * 0.03595 = 114

R_2 = K * Ra_2 = 3183 * 0.3212 = 1022

R_3 = K * Ra_3 = 3183 * 25.69 = 81771

Estes valores são os ideais. Em termos de valores disponíveis no comércio ficamos com:

R1 = 110 ohm
R2 = 1000 ohms
R3 = 82 kohms
C1 = 10 nF
C2 = 10 nF
C3 = 10 nF

O resultado da simulação pode ser avaliado na figura a seguir:

Filtro PA terceira ordem,Chebyshev 3 dB, fc=500 hz

Filtros com alimentação única

De forma idêntica aos filtro de primeira e segunda ordem, precisamos apenas de polarizar o operacional na metade da tensão de alimentação, conforme vemos na figura a seguir:

Filtro PA Chebyshev terceira ordem, alimentação única, fc=500 hz

 

Chega de filtros por hoje. Até o nosso próximo encontro.

Deixe um comentário